Mathematik
Vorbereitung
Normalparabel:LS Seite 87
- y = x²
- Der Streckfaktor ist 1
-
0 1 2 3 4 x² 0 1 4 9 16 genau, auch Zwischenwerte 0,5² = 0,25 1,5² = 2,25 2,5² = 6,25 3,5² = 12,25 4,5² = 20,25 - Kleinster y Wert = 0
- x² = -x²
- S(d|e) heißt Scheitel
Parabeln verschieben:
- In y-Richtung:
- S(0|0) 1 nach oben = S(0|1), so lautet die Gleichung y = x²+1
- S(0|0) um 4 nach unten = S(0|-4), so lautet die Gleichung y = x²-4
- Formel: y = x² + e
- Formel: y = x² + e
- In x-Richtung
- S(0|0) um 3 nach rechts: S(3|0), aber y = (x-3)²
- S(0|0) um 3 nach links: S(-3|0), aber y = (x+3)²
- Formel: y =(x-d)²
- Formel: y =(x-d)²
- Beide
- Formel: y = (x-d)² + e
Strecken:
- y = 2x² (enger als NP)
- y = -2x² (nach unten geöffnet)
- y = 0,5x² (weiter als Normalparabel)
- y = -0,5x² (nach unten geöffnet)
- y = -0,5x² (nach unten geöffnet)
Streckfaktor = a
- 0 < a < 1, weiter
- a > 1, enger
- -1 < a < 0, weiter
- a < -1, enger
Scheitelform
- y = (x-d)² + e
Quadratische Funktionen
- Scheitelform: y = 2 (x-3)² + 4
- Ausmultiplizieren: = 2(x²-6x+9) + 4 = 2x² - 12x + 22
- Allgemeine Form = 2x² - 12x + 22
So lautet die Scheitelform:
- y = a * (x-d)² + e
und die allgemeine Form:
- y = a * x² + b * x + c
- Man kann den Streckfaktor ablesen, aber nicht den Scheitel
Satz vom Nullprodukt
- y = x² - 3x + 3
- Wird um 3 nach unten versetzt (Durch den Ursprung)
- y = x² - 3x
- Ausklammern
- y = x² - 3x = x * (x-3) | Wert = 0
- 0 = x * (x-3)
- <=> x = 0
oder
0 = x-3 |+3
x = 3 - Daraus den Scheitel: (0 + 3)/2 = 1,5xs(--> x-Stelle)
- y = 1,5² - 3 * 1,5 + 3
y = 0,75
Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist
Gleichungen der Form ax² + bx = 0
- 5x² - 7,5x = 0 | T
- x * (5x - 7,5) = 0 | NP
- <=> x = 0
oder
5x - 7,5 = 0
5x = 7,5
x = 1,5 - Auch Graphisch
x² - 2x = 0
x² = 2x - Beide Graphen zeichnen und daraus ergeben sich die Schnittpunkte
Gleichungen der Form a * (x-d) + e = 0
- 2 * (x-1)² -8 = 0 |+8
- 2 * (x-1)² = 8 |:2
- (x-1)² = 4 |+/- √()
- [x-1 = 2] = Hilfestellung
- <=>
x-1 = 2 | +1
x = 3
oder
x-1 = -2 |+1
x = -1
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
"Mitternachtsformel" / "ABC-Formel"
Merke:
Die Lösungen der quadratischen Gleichungen ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 kann man mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmen.
Die Lösungen sind:
-b +- √(b)²-4*a*c
x1/2= 2*a
Linearfaktordarstellung
Merke:
Hat eine Parabel den Streckfaktor a und die beiden Schnittstellen x1 und x2 mit der x-Achse, so kann man ihre Gleichung in Linearfaktordarstellung y = a * (x - x1) * (x - x2)
Bsp:
Streckfaktor a = 2 und Schnittstellen x1 = -6 und x2 = 2
Linearfaktordarstellung: x = 2 * (x + 6) * (x - 2)
"a" ausrechnen durch Einsetzten von einem Punkt auf der Parabel