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Lernen KP 1

Vorbereitung

Normalparabel:LS Seite 87

  • y = x²
  • Der Streckfaktor ist 1

  • 0 1 2 3 4
    0 1 4 9 16
    genau, auch Zwischenwerte 0,5² = 0,25 1,5² = 2,25 2,5² = 6,25 3,5² = 12,25 4,5² = 20,25
  • Kleinster y Wert = 0
  • x² = -x²
  • S(d|e) heißt Scheitel


Parabeln verschieben:

  • In y-Richtung:
    • S(0|0) 1 nach oben = S(0|1), so lautet die Gleichung y = x²+1
    • S(0|0) um 4 nach unten = S(0|-4), so lautet die Gleichung y = x²-4
      • Formel: y = x² + e

  • In x-Richtung
    • S(0|0) um 3 nach rechts: S(3|0), aber y = (x-3)²
    • S(0|0) um 3 nach links: S(-3|0), aber y = (x+3)²
      • Formel: y =(x-d)²

  • Beide
    • Formel: y = (x-d)² + e

Strecken:

  • y = 2x² (enger als NP)
    • y = -2x² (nach unten geöffnet)
  • y = 0,5x² (weiter als Normalparabel)
    • y = -0,5x² (nach unten geöffnet)

Streckfaktor = a

  • 0 < a < 1, weiter
  • a > 1, enger
  • -1 < a < 0, weiter
  • a < -1, enger

Scheitelform

  • y = (x-d)² + e


Quadratische Funktionen

  • Scheitelform: y = 2 (x-3)² + 4
  • Ausmultiplizieren: = 2(x²-6x+9) + 4 = 2x² - 12x + 22
  • Allgemeine Form = 2x² - 12x + 22


So lautet die Scheitelform:

  • y = a * (x-d)² + e

und die allgemeine Form:

  • y = a * x² + b * x + c
  • Man kann den Streckfaktor ablesen, aber nicht den Scheitel


Satz vom Nullprodukt

  • y = x² - 3x + 3
  • Wird um 3 nach unten versetzt (Durch den Ursprung)
  • y = x² - 3x
  • Ausklammern
  • y = x² - 3x = x * (x-3)   |  Wert = 0
  • 0 = x * (x-3)
  • <=> x = 0
    oder
    0 = x-3 |+3
    x = 3
  • Daraus den Scheitel: (0 + 3)/2 = 1,5xs(--> x-Stelle) 
  • y = 1,5² - 3 * 1,5 + 3
    y = 0,75

Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist


Gleichungen der Form ax² + bx = 0

  • 5x² - 7,5x = 0 | T
  • x * (5x - 7,5) = 0 | NP
  • <=> x = 0
    oder
    5x - 7,5 = 0
    5x = 7,5
    x = 1,5
  • Auch Graphisch
    x² - 2x = 0
    x² = 2x
  • Beide Graphen zeichnen und daraus ergeben sich die Schnittpunkte


Gleichungen der Form a * (x-d) + e = 0

  • 2 * (x-1)² -8 = 0 |+8
  • 2 * (x-1)² = 8 |:2
  • (x-1)² = 4 |+/- √()
  • [x-1 = 2] = Hilfestellung
  • <=>
    x-1 = 2 | +1
    x = 3
    oder
    x-1 = -2 |+1
    x = -1

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

"Mitternachtsformel" / "ABC-Formel"

Merke:

Die Lösungen der quadratischen Gleichungen ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 kann man mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmen.

Die Lösungen sind:

           -b +- √(b)²-4*a*c
x1/2=            2*a


Linearfaktordarstellung

Merke:

Hat eine Parabel den Streckfaktor a und die beiden Schnittstellen x1 und xmit der x-Achse, so kann man ihre Gleichung in Linearfaktordarstellung y = a * (x - x1) * (x - x2)

Bsp:

Streckfaktor a = 2 und Schnittstellen x1 = -6 und x2 = 2
Linearfaktordarstellung: x = 2 * (x + 6) * (x - 2)

"a" ausrechnen durch Einsetzten von einem Punkt auf der Parabel