Mathematik

Vergrößern und Verkleinern

Zentrische Streckung

Eine Abbildung heißt zentrische Streckung mit dem Streckenzentrum S und dem Streckfaktor k, wenn sie jedem Punkt P (P ≠ S) einen Bildpunkt P' zuordnet, dass:
(1) P' auf dem ausgehendem Strahl durch P liegt
(2) ¯SP'¯ = k * ¯SP¯ (k > 0)

Beispiel:

Seitenverhältnis: 16:9
Einheit: 5cm

Längen:
b = 16*5cm = 80cm
a = 9*5cm = 45cm

ODER

a = 9/16 * b oder b = 16/9 * a

Wird ein Bild verkleinert oder vergrößert, so kann man den Streckfaktor berechnen, indem man die erhaltene Streckenlänge a' durch die ursprüngliche Streckenlänge a dividiert.

k = a'/a bzw. k = b'/b

Ist der Streckfaktor k > 1, spricht man von einer Vergrößerung, bei 0 < k < 1 von einer Verkleinerung (Kehrbruch)
k < -1 wird das Bild gespiegelt und vergrößert, k > -1 < 0 wird das Bild gespiegelt und verkleinert und k = -1 ist eine Punktspiegelung.

Eigenschaften:

Geradentreue:

Abbildung gereadentreu, wenn Geraden auf Geraden abgebildet werden.
Bei der zentrischen Streckung werden parallele Geraden abgebildet.

Winkeltreue:

Winkel behalten Winkelweite

Teilverhältnistreu:

Jede Strecke wird mit der Streckfaktor k abgebildet

Ähnlichkeit:

Zwei Figuren F und G heißen ähnlich, wenn man F mit einer zentrischen Streckung so abbilden kann, dass F zu G kongruent (Deckungsgleich) ist.

Ähnlich wenn:

• Gleiche Winkel
• Seitenverhältnisse übereinstimmen

Mit 3 Strahlen